Contohnyajika bilangan ganjil bersifat positif adalah: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, dan seterusnya. 3. Bilangan Prima Kemudian ada bilangan prima, yang merupakan angka asli yang hanya habis dibagi satu atau habis dibagi dengan angka itu sendiri. Misalnya, angka 2 hanya habis jika dibagi dengan angka 1 dan angka 2 itu sendiri. Definisi- Pengertian Bilangan Prima. Bilangan prima adalah bilangan asli yang bernilai lebih dari 1 dan mempunyai 2 faktor pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Dengan menggunakan pengertian bilangan angka prima tersebut, kita dapat memahami bahwa angka 2 dan 3 merupakan bilangan prima, karena hanya bisa dibagi dengan angka satu dan Bilangan7 "baca tujuh" tersusun dari angka 7 saja. Bilangan 12 "baca dua belas" tersusun dari angka 1 dan 2. Bilangan 123 "baca seratus dua puluh tiga" tersusun dari angka 1,2 dan 3. Bilangan 6.123.987 " baca enam juta seratus dua puluh tiga Sembilan ratus delapan puluh tujuh" tersusun dari angka 1,2,3,6,7,8 dan 9. Bilanganterkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 2, 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 2, 3 dan 4. Maka berdasarkan penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari m dan n, dengan m, n merupakan anggota himpunan bilangan asli Banyaknyabilangan kurang dari 6.000 yang dapat dibuat adalah. A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 (UN IPS 2012) Pembahasan Bilangan kurang dari 6000, kemungkinannya adalah: Untuk bilangan dengan angka depannya 3, tiga angka berikutnya akan diambil dari 4, 5, 6, dan 7 (empat angka, angka 3 tidak diikutkan lagi). 7 Jika P = {bilangan prima kurang dari 12} dan Q = {bilangan asli kurang dari 12}, pernyataan berikut yang benar adalah A. 9 ∉ P dan P ⊄ Q B. 5 ∉ P dan P ⊂ Q C. 9 ∈ P dan P ⊄ Q D. 5 ∈ P dan P ⊂ Q (Soal No. 7 PG Bab Himpunan BSE Kurikulum 2013 (Revisi 2016) Semester 1 Kelas 7, Kemendikbud) dVyQM. BILANGAN ASLI, BILANGAN CACAH, DAN BILANGAN BULAT RESUME Sebagai Pemenuhan Tugas Mata Kuliah Pendidikan Matematika yang Diampu oleh Ibu Dra. Titik Sugiarti , dan Bapak Fajar Surya Hutama, Oleh Kelompok 1 Siti Humaira 150210204010 Nurliana Mawaddah 150210204015 Tika Triyana 150210204030 N. Lailatul Nadhifatul Uyun 150210204040 Kelas B PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR JURUSAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2016 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan dengan penelaahan bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan-hubungannya diantara hal-hal itu. Semakin berkembangnya zaman, teknologi semakin canggih dan pengguna teknologi diharuskan memiliki kemampuan untuk memanfaatkan teknologi tersebut dengan sebaik mungkin. Kemajuan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini pun dilandasai oleh perkembangan matematika. Pembelajaran matematika di sekolah dasar SD merupakan dasar bagi penerapan konsep matematika pada jenjang berikutnya. Konsekuensinya dalam pelaksanaan pembelajaran matematika di SD harus mampu menata dan meletakkan dasar penalaran siswa yang dapat membantu mamperjelas menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dan kemampuan berkomunikasi dengan bilangan dan simbol-simbol, serta lebih mengembangkan sikap logis, kritis, cermat, disiplin, terbuka, optimis, dan menghargai Matematika. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan juga merupakan suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili bilangan itu disebut angka atau lambang bilangan. Dalam penggunaan sehari-hari, angka, bilangan dan nomor seringkali disamakan, secara definisi, angka, bilangan dan nomor merupakan tiga entitas yang berbeda. Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan untuk melambangkan bilangan, sedangkan nomor biasanya menunjuk pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yang berurutan B. Tujuan Tujuan dari penyusunan materi ini adalah untuk memberi pengetahuan kepada pembaca mengenai bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat beseta sifat dan operasinya. BAB II PEMBAHASAN A. Bilangan Asli A 1. Pengertian Bilangan Asli Bilangan asli A counting number atau natural number merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1. Pada garis deret ukur bilangan matematika yang dimulai dari angka 1 bertambah 1 ke arah kanan. Contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... 2. Operasi Bilangan Asli a. Operasi Penjumlahan Bilangan Asli Penjumlahan adalah menggabungkan sekelompok bilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang merupakan jumlah. Contoh di bawah adalah penjumlahan antara 1 buah bola ditambah dengan 1 buah bola yang menghasilkan 2 buah bola Apabila dinotasikan dengan angka menjadi 1 + 1 = 2 Penjumlahan juga dapat dilakukan dengan bertukar tempat. Pertukaran posisi dari angka yang dijumlahkan akan menghasilkan jumlah yang sama. Maka, 3 + 2 = 5 Demikian pula denga pola berikut ini Maka, 2 + 3 = 5 dan berlaku sifat komutatif pada penjumlahan. Contoh lain 1. 2 + 4 = 6 dan 4 + 2 = 6 2. 12 + 6 = 18 dan 6 + 12 = 18 3. 9 + 95 = 104 dan 95 + 9 = 104 b. Operasi Pengurangan Bilangan Asli Operasi perkurangan dinyatakan dengan tanda minus dalam notasi infix, dengan bentuk rumus c – b = a Dalam pengurangan, bilangan yang dikurangi disebut minuend, bilangan pengurang disebut subtrahend dan jawabannya disebut reminder. Maka c adalah minuend, b adalah subtrahend, dan a adalah reminder. Contoh 1 5 – 3 = 2 2 15 - 7 = 8 3 25 - 11 = 14 4 76 – 6 = 10 c. Operasi Perkalian Bilangan Asli Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain. Operasi ini adalah salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmetika dasar yang lainnya adalah penjumlahan, pengurangan, pembagian. Perkalian terdefinisi untuk seluruh bilangan di dalam suku-suku perjumlahan yang diulang-ulang misalnya, 3 dikali 4 seringkali dibaca "3 kali 4" dapat dihitung dengan menjumlahkan 3 salinan dari 4 bersama-sama 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Contoh lain 1 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 2 7 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35 3 4 x 11 = 11 + 11 + 11 + 11 = 44 d. Operasi Pembagian Bilangan Asli Pembagian adalah konsep matematika utama yang seharusnya dipelajari oleh anak-anak setelah mereka mempelajari operasi penambahan, pengurangan dan perkalian. Pembagian adalah pengurangan berulang. Contohnya 12 4 artinya “12 – 4 – 4 - 4 = 0” maka hasilnya 12 4 = 3. Dalam tahap ini, diperkenalkan terlebih dahulu konsep Pembagian sebagai Pengurangan Beruntun dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dengan menggunakan pensil atau buku yang berada di sekitar anak-anak belajar. Sebagai keterangan tambahan, cara mengajarkan fakta-fakta pembagian dapat menggunakan gambar-gambar benda nyata dalam bentuk soal secara pengurangan berulang-ulang. Contoh 1. Ibu mempunyai 10 permen dibagikan kepada 5 orang anak setiap anak mendapat sama banyak berapa permen yang diterima setiap anak ? Jawab 10 5 artinya 10 dikurangi 5 secara berulang sampai habis / hasilnya 0 10 – 5 – 5 = 0 habis Pengurangan selesai setelah 2 kali, jadi setiap anak mendapat 2 permen. 2. 8 2 = 8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0 Maka, 8 2 = 4 3. 20 4 = 16 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 = 0 Maka, 20 4 = 5 3. Sifat-sifat Operasi Bilangan Asli a. Sifat komutatif Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut. 2 + 4 = 6 4 + 2 = 6 Jadi, 2 + 4 = 4 + 2. Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut. 2 × 4 = 8 4 × 2 = 8 Jadi, 2 × 4 = 4 × 2. Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian. Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian? Perhatikan contoh berikut. 1 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2 Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2. 2 2 4 = 0,5 dan 4 2 = 2 Diperoleh bahwa 2 4 tidak sama dengan 4 2, atau 2 4 ≠ 4 2. Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif. b. Sifat Asosiatif Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga bilangan berikut. 2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9 2 + 3 + 4 = 2 + 7 = 9 Jadi, 2 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4. Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut. 2 × 3 × 4 = 6 × 4 = 24 2 × 3 × 4 = 2 × 12 = 24 Jadi, 2 × 3 × 4 = 2 × 3 × 4. Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian. c. Sifat Distributif Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut. Contoh 1 Apakah 3 × 4 + 5 = 3 × 4 + 3 × 5 ? Jawab 3 × 4 + 5 = 3 × 9 = 27, dan 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27. Jadi, 3 × 4 + 5 = 3 × 4 + 3 × 5 Contoh 2 Apakah 3 × 4 – 2 = 3 × 4 – 3 × 2 ? Jawab 3 × 4 – 2 = 3 × 2 = 6, dan 3× 4 – 3 × 2 = 12 – 6 = 6. Jadi, 3 × 4 – 2 = 3 × 4 – 3 × 2. B. Bilangan Cacah 1. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan asli ditambah dengan bilangan nol. Bilangan asli sendiri merupakan bilangan yang dimulai dari 1, lalu selanjutnya bertambah satu-satu. Contoh bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... 2. Operasi Pada Bilangan Cacah Operasi pada bilangan cacah meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. a. Operasi Penjumlahan Bilangan Cacah Ada 2 pendekatan atau jalan untuk menerangkan penjumlahan, yaitu melalui kumpulan, dan dengan pengukuran. 1. Penjumlahan melalui kumpulan Penjumlahan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan kepada gabungan dua kumpulan lepas. Mengingat dunia anak-anak masih nyata maka kumpulan yang diambil harus kumpulan dengan anggota benda nyata atau gambar dengan anggota real. Misalnya Saya punya kelerang dua buah. Kemudian saya membeli lagi tiga buah. Berapa buah kelerang yang sekarang saya miliki ? Kita juga dapat menggunakan benda-benda lain, seperti buku, mobil-mobilan, pensil, dan lain-lain. 2. Penjumlahan melalui pengukuran Pada penjumlahan dengan pengukuran, yang dijumlahkan itu bukan bilangan kardinal dari kumpulan-kumpulan tetapi ukuran panjangnya. Penjumlahan dengan pengukuran dapat diperagakan dengan menggunakan garis bilangan. Contoh 3. Sifat- sifat penjumlahan a Sifat tertutup, yang berarti hasil dari penjumlahan bilangan cacah a dan bilangan cacah b adalah berupa bilangan cacah, misalnya 0 + 1 = 1 1 + 2 = 3 b Sifat komutatif atau juga sering dikenal dengan sifat pertukaran berlaku a + b = b + a, misalnya 1 + 0 = 1 dan 0 + 1 = 1 3 + 1 = 4 dan 1 + 3 = 4 c Sifat Asosiatif atau juga dikenal dengan nama sifat pengelompokan, berlaku a + b + c = a + b + c , misalnya 1 + 2 + 3 = 6 dan 1 + 2 + 3 = 6 3 + 1 + 6 = 10 dan 3 + 1 + 6 = 10 d Unsur Identitas, yang berarti apabila dijumlah suatu bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri, misalnya 0 + a = a + 0 = a 0 + 3 = 3 + 0 = 3 5 + 0 = 5 b. Operasi Pengurangan Bilangan Cacah Pada penjumlahan, kita mencari jumlahnya. 4 + 3 = Suku suku jumlah Sedangkan, pada pengurangan, kita mencari selisihnya. 5 - 3 = Yang dikurangi pengurang selisih Pada 5 – 3 = kita harus mencari bilangan yang bila ditambahkan kepada 3 diperoleh 5. Ada beberapa cara untuk menjelaskan operasi pengurangan kepada anak usia SD. 1. Pengurangan melalui kumpulan Banyak cerita sehari-hari yang pemecahannya memerlukan pemahaman pengurangan. Misalnya Ada 5 ekor anak ayam. Dua ekor lari mengejar kupu-kupu. Berapa ekor anak ayam yang tinggal ? gambar atau model konkretnya dapat sebagai berikut 2. Pengurangan melalui pengukuran Pengurangan dengan pengukuran dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan. Meragakan penjumlahan pada garis bilangan ialah dengan bergerak maju ke sebelah kanan, sedangkan pengurangan berlawanan arah dengan penjumlahan yaitu bergerak mundur ke sebelah kiri. Contoh 4 – 2 = 2 3. Pengurangan dengan bilangan nol Setiap bilangan jika dikurangi oleh nol, hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Misalnya Contoh 1 6 – 0 = 6 2 15 – 0 = 15 3 24 - 0 = 24 c. Operasi Perkalian Bilangan Cacah Operasi perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah. Maka a x b dapat didefinisikan sebagai a x b = b + b + b + b +b +... + b sebanyak a kali Oleh karena itu, 4 x 3 mengandung arti 3 + 3 + 3 + 3. Sedangkan 3 x 4 mengandung arti 4 + 4 + 4. Jadi secara konseptual a x b tidak sama dengan b x a, akan tetapi kalau dilihat hasilnya saja maka a x b = b x a. 1. Perkalian sebagai penjumlahan berulang Perhatikan soal berikut ini. “Ibu Ani mempunyai 2 dus telur yang masing-masing dus berisi 6 telur. Berapa butir telur yang Ibu Ani miliki ?” banyaknya telur yang dimiliki oleh Ibu Ani adalah 2 x 6 butir. Dari soal itu, jelas bahwa banyaknya telur Ibu Ani 6 + 6. Jadi 2 x 6 = 6 + 6 = 12. Dengan demikian maka soalsoal 5 x 2, 6 x 1, 4 x 2, 2 x 4, dapat diselesaikan dengan penjumlahan berulang sebagai berikut. 5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 6 x 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 2 x 4 = 4 + 4 = 8 Namun, perlu diingat bahwa walaupun hasil akhirnya sama, namun secara proses 5 x 2 tidak sama dengan 2 x 5, 5 x 2 merupakan jumlah dari lima bilangan 2, sedangkan 2 x 5 merupakan jumlah dari dua bilangan 5. Untuk mengingatnya, kita bisa menganalogikannya pada reserp dokter. 3 x 1 artinya tiga kali minum obat, dengan setiap kali meminum obat, obat yang diminun 1 tablet. 2. Sifat-sifat perkalian bilangan cacah a Sifat tertutup Sifat tertutup adalah hasil perkalian bilangan cacah a dan b berupa bilangan cacah. Misalnya 1 0 x 1 = 0 bilangan cacah 2 1 x 2 = 2 bilangan cacah 3 4 x 5 = 20 bilangan cacah b Sifat komutatif pertukaran Pada operasi perkalian sebarang bilangan cacah a dan b berlaku a x b = b x a, contoh 1 1 x 0 = 0 dan 0 x 1 = 0 2 3 x 2 = 6 dan 2 x 3 = 6 3 4 x 5 = 20 dan 5 x 4 = 20 c Sifat asosiatif pengelompokan Pada operasi perkalian sebarang bilangan cacah a, b dan c berlaku a x b x c = a x b x c, misalnya 1 1 x 2 x 3 = 1 x 2 x 3 Ruas kiri 1 x 2 x 3 Ruas Kanan 1 x 2 x 3 = 2 x 3 = 1 x 6 = 6 = 30 2 3 x 1 x 6 = 3 x 1 x 6 Ruas kiri 3 x 1 x 6 Ruas Kanan 3 x 1 x 6 = 3 x 6 = 3 x 6 = 18 = 18 d Sifat distributif penyebaran perkalian terhadap penjumlahan Pada perkalian terhadap penjumlahan bilangan cacah sebarang a, b dan c berlaku a x b + c = a x b + a x c, misalnya 1 2 x 3 + 4 = 2 x 3 + 2 x 4 Ruas kiri 2 x 3 + 4 Ruas Kanan 2 x 3 + 2 x 4 = 2 x 7 = 6 + 8 = 14 = 14 2 4 x 1 + 3 = 4 x 1 + 4 x 3 Ruas kiri 4 x 1 + 3 Ruas Kanan 4 x 1 + 4 x 3 = 4 x 4 = 4 + 12 = 16 = 16 e Perkalian dengan bilangan nol Hasil perkalian bilangan cacah a dengan bilangan nol adalah nol. Misalnya 1 a x 0 = 0 2 5 x 0 = 0 3 0 x 14 = 0 f Unsur Identitas Hasil perkalian bilangan cacah a dengan bilangan 1 adalah bilangan a itu sendiri. Misalnya 1 1 x a = a 2 1 x 34 = 34 3 7 x 1 = 7 d. Operasi Pembagian Bilangan Cacah Konsep pembagian diperkenalkan kepada siswa setelah ia memahami konsep perkalian. Seperti pada penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, pembagian diperkenalkan kepada anak dengan menggunakan benda-benda real atau gambar-gambar benda real yang dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari. Dengan keadaan yang sehari-hari yang sebenarnya itu diubah ke dalam model konkrit atau gambar yang dilanjutkan dengan simbol. Misalnya “ada 6 buah kue yang harus dibagi sama di antara 3 anak. Berapa buah kue untuk setiap anak ?” Maka, setiap anak akan mendapatkan 2 buah kue. Sesuai dengan macamnya soal cerita yang dapat diselesaikan dengan pembagian, kita dapat menggunakan bermacam-macam pendekatan dalam menanamkan pengertian pembagian. Pendekatan-pendekatan itu melalui pengurangan berulangan dan cara bersusun pendek. 1. Pembagian sebagai pengurangan berulang Menyelesaikan soal 10 2 dengan cara pengurangan berulang ialah sebagai berikut. Kurangi 10 itu dengan 2 terus menerus sampai habis atau sisanya lebih kecil dari 2. Kemudian kita lihat berapa kali pengurangan dilakukan. 10 8 6 2 _ ke-3 4 ternyata bahwa sampai sisinya 0 2 _ ke-4 oleh 2 itu terjadi 5 kali. Ini berarti 2 pengurangan 10 berarti 10 2 = 5 0 C. Bilangan Bulat 1. Pengertian Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 87, 65, -34, 0. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat di dalamnya juga terdapat bilangan asli dan cacah. Himpunan bilangan bulat diberi simbol B dan dinyatakan sebagai berikut B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Dalam bentuk garis bilangan 2. Operasi Hitung Bilangan Bulat a. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat + 1. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif selalu menghasilkan bilangan positif. Contohnya 2 + 5 = 7 2. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan a Bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif lebih besar daripada bilangan bulat positif. Contoh 3 + -5 = -2 b Bilangan nol, jika bilangan bulat positif sama dengan bilangan bulat negatif. c Bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif lebih besar daripada bilangan negatif. Contoh 4 + -3 = 1 3. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan a Bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif lebih besar daripada bilangan bulat positif. Contoh -6 + 3 = -3 b Bilangan nol, jika bilangan bulat negatif sama dengan bilangan bulat positif. Contoh -3 +3 = 0 c Bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif lebih besar daripada bilangan negatif. Contoh -4 + 6 = 2 4. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif selalu menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh -2 + -3 = -5 b. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat - 1. Pengurangan bilangan bulat positif dengan positif Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan a Bilangan bulat positif, jika bilangan yang dikurangi lebih besar daripada yang mengurangi. Contoh 4 – 3 = 1 b Bilangan nol, jika bilangan yang dikurangi sama dengan bilangan yang mengurangi. Contoh 3 – 3 = 0 c Bilangan bulat negatif, jika bilangan yang mengurangi lebih besar daripada bilangan yang dikurangi. Contoh 2 – 5 = -3 2. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan negatif Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan a Bilangan bulat positif, jika bilangan yang mengurangi lebih besar daripada bilangan yang dikurangi. Contoh -3 – -6 = 3 b Bilangan nol, jika bilangan yang dikurangi sama dengan bilangan yang mengurangi. Contoh -3 – -3 = 0 c Bilangan bulat negatif, jika bilangan yang dikurangi lebih besar daripada bilangan yang mengurangi. Contoh -5 – -2 = -3 3. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh -2 - 3 = -5 4. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh 2 – -3 = 5 c. Operasi Perkalian Bilangan Bulat x Perlu diingat bahwa dalam operasi perkalian walaupun hasil akhirnya sama, namun secara proses 5 x 2 tidak sama dengan 2 x 5, 5 x 2 merupakan jumlah dari lima bilangan 2, sedangkan 2 x 5 merupakan jumlah dari dua bilangan 5. Untuk mengingatnya, kita bisa menganalogikannya dengan resep dokter. 3 x 1 artinya tiga kali minum obat, dengan setiap kali meminum obat, obat yang diminun 1 tablet yang diminum pagi, siang dan malam. 1. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat positif. a x b = ab atau b x a = ba dan berlaku sifat komutatif. Contoh 1 7 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 42 2 6 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 3 3 x 3 = 3 + 3 + 3 = 9 2. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat negatif. a x -b = -ab Contoh 1 4 x -3 = -3 + -3 + -3 + -3 = -12 2 5 x -4 = -4 + 4 + -4 + -4 + -4 = -20 3. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif Jika 3 x -4 = -3 + -3 + -3 + -3 = -12, bagaimana dengan -4 x 3 ? bisakah kita menggunakan penjumlahan berulang angka 3 sebanyak –4 kali ? tentunya tidak bisa. Contoh -5 x 3 = ... Maka untuk menghitung perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, dengan memperhatikan pola penalaran berikut 3 x 1 = 3 2 x 1 = 2 1 x 1 = 1 0 x 1 = 0 -1 x 1 = -1 -2 x 1 = -2 -3 x 1 = -3 -4 x 1 = -4-5 x 1 = -5, dan seterusnya Apabila diteruskan nilainya akan selalu negatif, dan selisih antara hasil pertama dan hasil kedua selisih -1 dan begitu seterusnya. Dari pola tersebut terlihat bahwa perkalian bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif adalah bilangan negatif. Jadi, -5 x 3 = -15. Contoh lain 1. -25 x 2 = -502. 2 x -25 = -50 3. -3 x 4 = -12 4. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif Contoh soal. -4 x -3 = ? Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif -a x -b = ab. Perhatikan pola penalaran berikut ini -4 x 3 = -12 -4 x 2 = -8 -4 x 1 = -4 -4 x 0 = 0 -4 x -1 = 4 -4 x -2 = 8 -4 x -3 = 12, dan seterusnya. Apabila diteruskan nilainya akan selalu positif, dan hasil perkalian pertama dengan perkalian kedua selisih 4 dan bertambah 4 seterusnya. Kemudian pengali pertama dengan kedua dikurangi 1 -1 hingga seterusnya. Dari pola tersebut terlihat bahwa perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif adalah bilangan positif. Dari pola penalaran tersebut juga dapat disimpulkan, bahwa perkalian dengan bilangan 0 akan menghasilkan 0. Jadi, -4 x -3 = 12. Contoh lain 1 -4 x -5 = 202 -5 x -4 = 20 3 -7 x -3 = 21 4 -5 x -2 = 10 d. Operasi Pembagian Bilangan Bulat Operasi pembagian bilangan bulat dapat dilakukan dengan cara pengurangan berurutan hingga menghasilkan 0. 1. Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh 1 8 2 = ... Cara ke-1 8 2 artinya ada berapa “duaan” dalam 8. Dalam kotak tersebut terdapat lingkaran hitam sebanyak 8, kemudian di ikat sama banyak. Masing-masing ikatan berisi dua lingkaran hitam. Maka ada 4 ikatan yang isinya sama banyak. Jadi, 8 2 = 4 Cara ke-2 Untuk pengerjakan operasi pembagian juga dapat dilakukan dengan menggunakan operasi perkalian. Perhatikan contoh soal berikut ini. = 4, sama artinya dengan 2 x 4 = 8 82 = 2, sama artinya dengan 4 x 2 = 8 84 82 20 5 Jadi, a b 2 9 3 = ... 9 – 3 = 6 , pengurangan ke-1 6 – 3 = 3 , pengurangan ke-2 3 – 3 = 0 , pengurangan ke-3 Dalam pembagian 9 3 terjadi 3 kali mengurangi 9 dengan 3 sehingga hasilnya 0, maka 9 3 = 3 2. Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat negatif dengan negatif. Contoh a Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif -8 2 = ... = -4, artinya 2 x -4 = -8 -8 2 -8 Contoh lain = q , maka angka berapa yang di kalikan 5 akan menghasilkan -15. 5 x q = -15, maka q adalah -3. 5 x -3 = -15. Jadi, -15 5 = -3 -15 5 b Pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif = n , maka angka berapa yang di kalikan -3 akan menghasilkan 18. -3 x n = 18, maka n adalah -6. -3 x -6 = 18. Jadi, 18 -3 = -6 18 -3 c Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif = p , maka angka berapa yang di kalikan -6 akan menghasilkan -12. -6 x p = -12, maka p adalah 2 -6 x 2 = -12 Jadi, -12 -6 = 2 -12 -6 3. Sifat Operasi Bilangan Bulat a. Sifat komutatif Sifat komutatif pertukaran pada penjumlahan dan perkalian untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku sebagi berikut a + b = b + a dan a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat. Contoh 1 3 + -9 = -6 dan -9 + 3 = -6 2 3 + 5 = 8 dan 5 + 3 = 8 3 4 x 2 = 8 dan 2 x 4 = 8 4 3 x 2 = 6 dan 2 x 3 = 6 5 4 x -2 = -8 dan -2 x 4 = -8 b. Sifat asosiatif Sifat asosiatif pengelompokan pada penjumlahan dan perkalian untuk setiap a, b, dan c bilangan-bilangan bulat berlaku a + b + c = a + b + c a x b x c = a x b x c, berlaku untuk semua bilangan bulat Contoh 1 9 + -5 + -2 = 9 + -5 + -2 Ruas kiri 9 + -5 + -2 Ruas Kanan 9 + -5 + -2 = 4 + -2 = 9 + -7 = 2 = 2 2 2 + 4 + 6 = 2 + 4 + 6 Ruas kiri 2 + 4 + 6 Ruas Kanan 2 + 4 + 6 = 6 + 6 = 2 + 10 = 12 = 12 3 3 x 2 x 4 = 3 x 2 x 4 Ruas kiri 3 x 2 x 4 Ruas Kanan 3 x 2 x 4 = 6 x 4 = 3 + 8 = 24 = 24 4 3 x 5 x -2 = 3 x 5 x -2 Ruas kiri 3 x 5 x -2 Ruas Kanan 3 x 5 x -2 = 15 x -2 = 3 x -10 = -30 = -30 c. Sifat distributif penyebaran Sifat distributif penyebaran berlaku a x b + c = a x b + a x c, yang berlaku untuk semua bilangan bulat. Contoh 1 4 x 5 + 2 = 4 x 5 + 4 x 2 Ruas kiri 4 x 5 +2 Ruas Kanan 4 x 5 + 4 x 2 = 4 x 7 = 20 + 8 = 28 = 28 2 3 x -2 + 4 = 3 x -2 + 3 x 4 Ruas kiri 3 x -2 + 4 Ruas Kanan 3 x -2 + 3 x 4 = 3 x 2 = -6 + 12 = 6 = 6 BAB III PENUTUP Kesimpulan Bilangan asli A counting number atau natural number merupakan bilangan yang dimulai dari angka 1 dan bertambah 1. Pada garis deret ukur bilangan matematika yang dimulai dari angka 1 bertambah 1 ke arah kanan. Contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... Operasi bilangan asli meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Sifat-sifat bilangan asli meliputi sifar komutatif pertukaran, sifat asosiatif pengelompokan, dan sifat distributif penyebaran. Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan asli ditambah dengan bilangan nol. Bilangan asli sendiri merupakan bilangan yang dimulai dari 0, lalu selanjutnya bertambah satu-satu. Contoh bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... Operasi bilangan cacah meliputi penjumlan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi penjumlahan ada 2 pendekatan atau jalan untuk menerangkan penjumlahan, yaitu melalui kumpulan, dan dengan pengukuran. Sifat penjumlahan bilangan cacah meliputi tertutup, komutatif, asosiatif, dan usur identitas. Operasi pengurangan ada beberapa cara untuk menjelaskan operasi pengurangan kepada anak usia SD, yaitu meliputi pengurangan melalui kumpulan, pengurangan melalui pengukuran, dan pengurangan dengan bilangan nol. Operasi perkalian bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai hasil penjumlahan berulang bilangan-bilangan cacah. Jika a dan b bilangan-bilangan cacah. Maka a x b dapat didefinisikan sebagai a x b = b + b + b + b +b +... + b sebanyak a kali. Sifat perkalian bilangan cacah meliputi sifat tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, perkalian dengan bilangan nol, dan unsur identitas. Operasi pembagian bilangan cacah dapat dilakukan dengan cara pengurangan berulang-ulang. Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 87, 65, -34, 0. Bialangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat didalamnya juga terdapat bilangan asli dan cacah. Himpunan bilangan bulat diberi simbol B dan dinyatakan sebagai berikut B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Operasi bilangan bulat meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, pengurangan, pembagian. Operasi penjumlahan bilangan bulat meliputi penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif, dan penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Operasi pengurangan bilangan bulat meliputi pengurangan bilangan bulat positif dengan positif , pengurangan bilangan bulat negatif dengan negatif, pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Operasi perkalian bilangan bulat meliputi perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Operasi pembagian bilangan bulat meliputi pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif, pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif, pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Pada bilangan bulat terdapat sifat-sifat tentang penjumlahan dan perkalian yaitu komutatif, asosiatif, dan distributif. DAFTAR PUSTAKA Untoro, J. 2006. Buku Pintar Matematika SD untuk Kelas 4, 5, dan 6. Jakarta Wahyumedia Untoro, Joko. 2007. Genius Matematika Kelas 4 SD. Jakarta Wahyumedia Karso, dkk. 2013. Pendidikan Matematika 1. Banten Universitas Terbuka. Joeniarsih, Asih. 2012. Makalah Matematika Bilbul. Online, diakses pada tanggal 16 Februari, 2016, Simanjuntak, Lismawati, dkk. 2003. Metode Mengajar Matematika I. Jakarta Rineka Cipta Diketahui A ={bilangan asli kurang dari 20} B = {bilangan asli genap kurang dari 15} C ={bilangan asli ganjil kurang dari 10} D ={bilangan asli lebih dari 7 dan kurang dari 15} a. Tentukan anggota dari himpunan A, B, C, dan D Cara penyelesaian A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 } B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 } C ={1, 3, 5, 7, 9} D ={8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} anggota dari B ∩ C, B ∩ D, dan C ∩ D Cara penyelesaian B ∩ C = { } B ∩ D ={8, 10, 12, 14} C ∩ D ={ 9} c. Gambarlah diagram Venn-nya Cara penyelesaian bab kali ini, kita akan bahas tentang pengertian, lambang, angka bilangan asli dan contoh soal serta bagaimana cara menentukanya! Bilangan asli merupakan bilangan yang mirip dengan bilangan bulat dan bilangan cacah. Perbedaannya itu terletak pada awal masing-masing bilangan itu sendiri. Jika bilangan cacah dan bilangan bulat angka nol 0 termasuk kedalam angka bilangan cacah dan bilangan bulat, sedangkan bilangan asli, angka nol 0 tidak termasuk kedalam bilangan asli tersebut. Berikut Gambar perbedaan antara bilangan asli dengan bilangan cacah Gambar Perbedaan Bilangan asli dan Bilangan Cacah Namun perlu kalian ketahui bahwa sebenarnya terdapat 2 defenisi mengenai bilangan asli tersebut. Definisi-definisinya itu ialah sebagai berikut Definisi yang pertama diungkapkan oleh pakar matematikawan tradisional atau ilmuan kunno zaman dahulu mengungkapkan bilangan asli adalah Himpunan bilangan-bilangan bulat positif yang bukan nol seperti 1,2,3,4,5,6, dst…. Lihat gambar Sedangkan menurut para ilmuan logikawan dan ilmuwan komputer atau biasa disebut imuan modern, bilangan asli adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif, seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dst ….. Lihat gambar Dari dua defenisi diatas maka dapat kita simpulkan bahwasa perbedaan antara dua denefinisi bilangan asli diatas hanya terletak pada bilangan angk nol saja. Dalam sejarahnya, bilangan asli merupakan salah satu konsep bilangan dalam ilmu matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang paling mudah dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Contoh Bilangan Asli Umumnya simbol yang digunakan untuk penulisan bilangan asli ini adalah huruf “N“ besar. Berdasarkan perbedaan dua definisi tentang pengertian bilangan asli diatas. Maka untuk membedakan dalam penulisan bilangan asli tersebut serta untuk menghindari kerancuan apakah angka nol dimasukan kedalam himpunan bilangan asli tersebut atau tidak, maka dalam penulisannya itu ditambahkanlah indeks superscipt atau seperti tanda kuadrat kecil diatas, menggunakan indeks “0” untuk memasukan angka bilangan 0 kedalam himpunan, dan indeks “*” atau “1” untuk tidak memasukan angka 0 kedalam himpunan. Lihat tata cara penulisannya dalam gambar dibawah ini N0=N0= 1,2,… N*=N+N1=N>0= 1,2,… Contoh Himpunan Bilangan Asli Secara Umum N*= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ini menunjukan bahwa bilangan asli itu termasuk satu, dua, tiga, empat dan seterusnya sampai tidak terbatas. Contoh Himpunan Bilangan asli Kurang dari 5 yaitu N*1, 2, 3, 4 Berarti bilangan asli di bawah 5 adalah 1,2,3,4. Contoh himpunan bilangan asli antara 4 dan 9 N*5, 6, 7,8 Artinya bilangan asli antara 4 dan 9 adalah 5, 6, 7, 8 Contoh Bilangan Asli dari angka 10 hingga 20 N*11,12,13,14,15,16,17,18,19 Artinya bilangan-bilangan asli antara 10 hingga 20 adalah angka 11,12,13,14,15,16,17,18,19 Contoh Bilangan Asli antara bilangan 25 dan 30 N*26,27,28,29 Artinya, bilangan asli antara 25 dan 30 adalah 26,27,28,29 Contoh Himpunan Bilangan Asli yang DiKuadratkan Contoh N* Cara Menghitung Bilangan Asli Cara menghitung bilangan asli ada beberapa macamnya, perhatikan macam dibawah Penjumlahan Bilangan Asli dengan Menghitung banyaknya suatu Benda Dalam penjumlahan ini dibutuhkan benda-benda misalnya seperti pena, buku, atau yang lainnya. Contoh 2 pena + 3 buku = ..? Siapkan pena berjumlah 2 dan buku 3, kemudian kumpulkan dan dihitung. maka hasilnya akan seperti ini 2 pena + 3 buku = 5pena/buku atau sama saja 2+3=5. 10+6=..? Siapkan benda yang jumlahnya 10 misal 10 penghapus. Kemudian siapkan lagi penghapus yang lain sebanyak 6 penghapus. Kemudian Kumpulkan penghapus-penghapus itu dan hitunglah selurunya. Hasilnya adalah 16, maka Hasil dari penghitungan itulah adalah hasil dari jawaban soal 10+6=16 25+30=..? Seperti diatas siapkan benda-benda contoh kelereng sebanyak 25 biji, setelah itu siapkan lah kembali kelereng sebanyak 30 biji. kemudian kumpulkan dan dihitung. jumlahnya yaitu 55 orang, Jadi, hasil dari pertanyaan 25+30 yaitu 55orang. Penjumlahan Bilangan Asli dengan Cara Melanjutkan Urutan dari Bilangan Asli Misal soal 3+4=..? Cara mencari jawabannya yaitu dengan mengurutkan dari bilangan 3 hingga 4 kali pengurutan. maka, 4,5,6,7 4 bilangan setelangan bilangan 3. hasilnya dapat dilihat dari urutan bilangan yang terakhir yaitu 7. maka 3+4=7. Misal soal 12+6=..? Cara mencari jawabannya yaitu urutkanlah setelah angka 12 sebanyak 6 kali jumlah urutan 13,14,15,16,17,18 hasilnya adalah urutan angka terakhir dari lanjutan angka 12, yaitu 18, maka jawaban atas soal 12+6=18 Misal soal 20+10=..? Untuk mencari jawabannya urutkan terlebih dahulu bilangan dari angka 20 sampai 10 kali urutan 21,22,23,24,25,26,27, 28, 29, 30. maka bilangan yang berada diakhir urutan itulah jawabanya yaitu 30. jadi 20+1= sama dengan 30 Demikianlah pembahasan kita tentang pengertian dan contoh bilangan asli, semoga bermanfaat .. Materi Terkait Bilangan Prima Bilangan Kuantum

bilangan asli lebih dari 7 dan kurang dari 15